プログラミングの練習(4)：アルゴリズムを学ぼう

情報オリンピックに出よう、という場合に必要になるのがアルゴリズム。

高度なプログラミングテクニックが求められるのではなく、条件分岐やループといった初歩から始まって、再帰や分割統治法、動的計画法といったあたりを使いこなす必要がある。

なおが使ってきたのはPythonなので、まずはPythonでアルゴリズムを勉強できる本を探してみた。検索するといくつかあるが、適当に選んだのがこちら。


ただ、アルゴリズムの学習で必要な計算量を理解するためには、少なくとも数Ⅰで学ぶ対数や指数を理解する必要がある。

なおは数Ⅰを勉強したがっているが、中学数学をマスターしているとは言い難い。どこを優先するか、悩ましいところだ。


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前言撤回、意外と役立つ？受験算数

最近、中学算数の2年生相当分まで来た。

以前、中学受験の算数は、中学入学後に役立たないのではないか、と書いたが、中2の内容まで入ってみると、意外と関連性が高いことに気が付いた。

ニュートン算、速度、体積、面積など、中学受験でおなじみの問題が、1次方程式や連立方程式で出てくる。

中学受験では方程式では解けるとは限らず、いろいろな工夫が必要な場合が多いが、こうした問題の構造に慣れることの意義は大きい。


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中学数学を少しだけ先取り

受験までもう3カ月。

もちろん朝晩、そして放課後も少し勉強している。が、そう簡単に点数が上がったりはしない。

この前の模試の結果が返ってきたが、算数はさらに上がり、国語はさらに下がり…。

国語は時間配分を間違えて最後の漢字と慣用句が終わらなかったとのことなので、仕方がない。今度は時計を持たせて、漢字は最初に解かせよう。

ただ、漢字と慣用句をすべて解いていても、そんなに劇的に点数が上がるわけではない。まあ、これが今のなおの実力ということなのだろう。

＊

算数はこれ以上難しい問題を解けるようになっても入試に役に立つわけではなし、ミスをなくすために大量に計算問題をやるのも我が家の方針に反する、ということで、中学算数を少しだけ先取りすることにした。

チャート式基礎からの中学1年数学―新学習指導要領準拠


毎日練習問題を1ページだけやっている。3分ぐらいだろうか。最初の30ページぐらいは、以前英語でやった代数(Algebra)と内容が被っているので飛ばすことができた。


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算数の現況と下剋上算数難関編の感触

今日は算数の進み具合が現在どんな感じか、という話と、この前始めた「下剋上算数 難関編」の話。

まず、算数の勉強時間だが、必ずやるのは朝プリント1枚、夜プリント1枚。それぞれ、基本問題だと5分で終わらせてしまうこともあれば、応用問題で20分ぐらい使うこともある。

メインで使っているテキストはおなじみ四谷大塚の「予習シリーズ6年下（難関校対策） 算数」。

頻出問題が集めてあるベストセレクションのうち、難易度が低いLEVEL 1だと初見で(ほぼ)全問正解、LEVEL 2で7割正解、LEVEL 3で3割正解といったところか。

「下剋上算数 難関編」は、学校から帰ってきた後、時間があれば1回分やる。

難関編という割に最初、ずいぶん易しくて拍子抜けしたのだが、全100回分のうち、最初の30回は難易度が低い設定になっていることに後で気が付いた。

簡単といっても、15分の制限時間で答えようとすると、たいてい１～３問、間違えてしまう。

現在、30回目まで来た。ここから難しくなるようなのでコツコツ続けよう。

いずれにせよ、現在の算数の学力で、志望校の問題は８～９割の正解率で、これ以上難しい問題が解けるようになる必要はない。


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[日本語] 小学生にぴったりの数学マインドを刺激する本

英語の本ではないが、これは紹介しておきたい！と久々に感じた本がこちら。

Newtonライト『素数のきほん』 (ニュートンムック)


科学雑誌Newtonのムックだが、「ライト」ということで読者に子どもも視野に入っている。

内容は、素数とは何か、という基本から始まって、素数ゼミやエラトステネスのふるいの話、メルセンヌ素数、フェルマー、オイラーなどなどが紹介されている。

内容はそれなりに充実しているが、数式などは最低限で理解の必要がなく、さらには凄まじいまでのルビが振ってある。なんと、「素数」にも「整数」にも「素因数分解」にも。無節操すぎて、何歳ぐらいをターゲットにしているかわからないほどだ。

なおは知っている話もあったようだが、軽く眺めていた。こういった本は部屋に備えておくのが大切だ。

元になっているのはこちらのムックらしい。こちらは明らかに大人向けだが、小学生にでもわかる部分を、わかるように書き直した感がある。

ゼロと無限素数と暗号―数学者たちを魅了してきた深奥な数 (ニュートンムック Newton別冊)


この「ニュートンムック ライト」シリーズは他にもあるようなので、そろえてみよう。


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下剋上算数の続編を購入して開始

もうブームが去ってしまって話題になることも少ないが、テレビドラマにもなった「下剋上受験」の作者、というか馬渕教室がまとめた問題集、「下剋上算数 基礎編」に取り組んだのが5年生のとき。

その次が「難関編」。

下剋上算数 難関校受験編 ――偏差値50から70への道


もともと下剋上受験のストーリー自体がいわゆる最難関を目指したものだけに、なおにはまだまだだろう、と考えていた。

もう入試も目の前に迫ってきて、改めてこの問題集を始めたのは時間制限があるから。１回15分で100回分、とわかりやすい。

なおの場合、塾に通っていないので週ごとのテストもなく、模試も毎月受けられるとは限らない。毎日の算数の勉強も朝10分、夜10分のように細切れで、時間制限の下で問題を解く、という練習を始めたほうがよい、と考えた。

すでに9回分やってみたが、制限時間以内、だいたい10分前後で終わるので速度は十分。

ただし！

正答率は低い。簡単な問題ばかりなのに10問中必ず1問、2問落とす。理由は計算ミスだったり勘違いだったり。やり方は完全にわかっていてやり直すと解けるので、もう仕方がない。

私自身も子どものころはケアレスミスが多かったので、完全に遺伝だろう(^^;


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中学受験の算数、自然と方程式を使うように

中学受験の算数は、小学校で学ぶ算数の延長上というにはあまりに異質で、かといって中学校以降の数学を先取りしているのかというとそうでもない。

中学校で学ぶｘやｙを使った方程式は、基本使わない。

基本というのはどういうことかというと、比の問題などでは1:2のものを1マル、2マルとおいたりして、結局スタイルが違うだけでやっていることは方程式だったりする。

小学校で教わらないなら、勝手に教えてしまえばいいのでは、というとそうでもない。実のところ、方程式を使って解くように作られていない問題は、方程式を使っても解けるとは限らない。

5年生の頃、アメリカで方程式をちょっと学んだときに自宅でやっている予習シリーズの応用問題をｘを使って解こうとして挫折していた。

そのときには、中学受験の問題は必ずしも方程式を使って解けるとは限らないこと、解けたとしても楽だとも限らないことを説明しておいた。

＊

あれから一年。

日本の小学校では最近6年生のカリキュラムに方程式が含まれているようで、教科書とは別冊で、中学数学の先取りなる副読本をもらってくる。実際に授業でも使っているようだ。

そのせいか、自宅での受験勉強でも、ときどき勝手にｘを使うようになってきた。昔とは違って、使って解けるときだけ活用しているようなのが偉い。


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模試の成績が芳しくなくても

２月から毎月受けている塾の模試だが、成績があまりよろしくない。

５年生のときに２回受けた模試では、算数の偏差値が60近くあったのが、現在は50あたりをうろうろ。

理由は、といえば、おそらく勉強不足。

現在の勉強時間は、算数で言えばせいぜい1日45分ぐらいなので、通塾している子どもたちと比べると足りないのではないか、と思う。

返却されてきたテストを見ると、難易度的には、9割は解ける問題だ。ただし、本番ではまず単純ミス（問題の読み間違えなど）があり、さらに時間制限がある。

中学受験には各家庭の考え方があり、何が正解ということはない。

成績を伸ばしたいならもっと勉強すればよい、というのはもっとも。そもそも、我が家では、ゲームをはじめ遊びまくっていて、覚悟が足りないという考え方もあるだろう。

だが我が家の場合は、「勉強」は小学生時代で終わるのではなく、大学受験まで、さらには仕事を始めてからも一生続くものだ、という前提で、ここでは現在の勉強量で、受かるところに入れば良い、ということで、家族全員が納得している。

どの中学に入るか、という以上に、中学受験に向けて努力する、その過程が大切だ。


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お次は6年前に買った雑誌を参考にしてみた

この前、部屋を掃除していて見つけたのがこちらの雑誌。

頭のいい子のお宅拝見！　プレジデントファミリー2011年1月号別冊


そういえばブログで記事を書いたような、と思い出して検索したら、なんと6年前！

この時、なおはまだ5歳で内容はほとんど参考にならなかったのだが、今となっても、灘中学だの開成中学だのに受かった子どものことを聞いてもあまり参考にならない（6年前もまったく同じ感想だった）。

だが、読書ガイドとして「学ぶ意欲に目覚める150冊」がリストされていて、これがとうとう役立つ時が来た！

とりあえずは算数系かなと思って、とっつきやすそうなものを選んで図書館で借りてみた。

算数おもしろ大事典IQ 増補改訂版


すると、「これ面白いじゃん」とか言いながら読み始めた！細かく隅から隅まで、といった読み方はしないが、興味のあるところをピックアップして目を通しているようだ。

レベルが高くて最難関に行く子にしか適さないだろう、と思われる本もたくさんあるのだが、いくつかはなおでも楽しめそうだ。

今回の本も、小学生中学年からいける。

読書ガイドを参考に、まめに図書館で借りてきてチェックして見せる、というのが小学生の親の親力のひとつかもしれない。


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なお、算数で猛烈なスランプ中

毎晩やっている下剋上算数、本来はすっと問題なくできるはずの簡単な問題が中心なのだけれど、この1か月ほど、ときどき妙に単純ミスが続くことがある。

毎朝やっている予習シリーズの算数でも、本来苦手ではない分野であるはずの旅人算で苦戦中。今は、本科テキストで4年生の3月ぐらいにやった内容を、演習問題集で復習しているのに、正解率がむしろ微妙に下がっているような？

本人も、できるはずの問題でミスをするとショックなようだ。

対策は、というと、いつもよりもゆっくりと、丁寧に問題を解くこと。

睡眠時間が足りないとか、旅行に出かけたとか、そういったわかりやすい理由がないまま、注意力不足になっているのは、なおがまだ小学生だ、ということもあるのだろう。

情緒的な成長はまだまだこれから。本人のやる気と自信を失わせないように見守りつつ導いていかないといけない。


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一方、算数は…

9月の模試、国語の成績が良くなかったのと対照的に、算数の方はばっちり。国語が下がったのとほぼ同じぐらい算数が伸びていた(^^;

非常に簡単な計算問題を間違えていたり（割り算を逆にしてた）、ふだんなら解けるはずの問題を勘違いして解いたりしてポコポコ点数を落としていたが、それでも目標のレベルを楽々クリア。

日々の勉強は、だいたい同じぐらいの時間を使っている。算数は、予習シリーズを毎朝1枚、下剋上算数[基礎編]を毎晩1枚やるだけ。国語も、同様に予習シリーズで漢字と読解問題。同じようにやっているのに、この差は…。

もうこれは、単に持って生まれた資質なのだと思う。

志望校の過去問を見てみたら、最難関ほどではないものの、そこそこに骨太の問題が出ていて、現在のなおの学力ではまだまだ。あくまで現在、偏差値的に見た場合にOKだ、というだけなので、このまま学習を続ける必要がある。


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塾の模試を受けてきた

国語は怖いので採点しない(笑)

算数は19/25で、76点。間違えた6問のうち、１つはものすごく簡単な計算問題のミス。２つはやり直したら一瞬で解ける、どうして間違えたかわからない問題。さらに1つは微妙に苦手だけれども、難易度は高くなく、出来ていても良い問題。最後の2つは難問なので現在の学力では無理。

ということで、コンディションが最高なら可能性としては92点ぐらいは行けた。実際には、単純ミスも実力のうちで、この点数が現在の学力だ。

前回受けたのは4月なので確認してみたら、なんとまったく同じ点数だった（笑）。

難易度も含めて同学年集団内での立ち位置、いわゆる偏差値はわからないが、前回の偏差値を維持できているなら、勉強時間を考えれば上出来だろう。


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ミーハーで買ってしまったこんなもの

あまり時流に流されない性格の私だが、珍しく流行り物を購入した。

それは、こちら！

中学受験テキスト 下剋上算数 基礎編――偏差値40から55への道


ブログが話題になったのはもうずいぶん前で、その頃少し面白いなと思って読み、書籍化されたときも書店でちらちらと眺めたものだ。

下剋上受験[文庫版] ―両親は中卒 それでも娘は最難関中学を目指した!


個人的には私は「偏差値○○からの」的な、悪い状態から何かをきっかけに大成長という話が好きではない。

そもそも悪い状態にならないように先手を打って行動なり準備なりするに超したことはなく、後から挽回するのは効率が悪いことがほとんど。

受験対策ガイドとしてはさておき、著者の桜井さんのブログは純粋に読んでいて面白かった。

その後、この「下克上算数」が出版されたとき、書店で見て気に入ったのだが、なおにはまだまだ早かった。

現在、新5年生になったなお。改めて書店で見てみたら、難易度的にはちょうど良いのではないかと思い、ミーハー気分で買ってみた。

見開きで10問を10分！で終わらせるのがゴール。なおは問題を解くのは早いほうだと思っていたが、さすがにこれは厳しい。実際に使ってみてどうなるかは、またそのうち報告しよう。


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Algebra、結局どうなった？

ギフテッドクラスに入っているクラスメイトが代数(Algebra)をやっている、という話を聞いて羨ましくて悔しくなってしまったなお。

図書館でちょっと参考書っぽいものを借りてきた後、コミックの方は少し眺めていたようだけれど、やはり数学は自分で問題を解いて考えないと理解できない。

時間があるときに"extra worksheets"をしてビデオゲームの時間をもらう、という決まりがあるので、ちょうどこの時にやってもらえばいいか、と思いついて、ワークブックを入手することにした。

Algebraは中学校・高校のカリキュラムになり、今まで調べてきた小学校のカリキュラム・ワークブックとは体系が異なるので、調べているとちょっと最初は混乱した。

中学と高校のどちらで学ぶかはっきりとした区別がない教材ばかりだが、Algebra 1とAlgebra 2に分かれているのはどちらかというと高校生向け。

ちなみに、英語でも算数・数学でも、小学生向けのワークは書店にたくさん並んでいるが、中学生以上になると途端に数が減る。こちらでは、問題集を使っての家庭学習というのは一般的ではないのだろう。

中学生向けでも高校生向けでも、さらには大学生向けでも、Algebra (1)は基本同じ内容だが、記述の仕方が結構違うので、中を見てみるとはっきりする。

うちが使うなら対象学年がわかりやすい方がいい、ということで結局おなじみのSpectrumに頼ることにした。

Spectrum Algebra Grades 6-8


3年間分の代数がこの1冊に詰まっている。問題のページは100ページ強。

最初は変数を使った式の作り方あたりから始まって、最後は連立1次方程式まで。日本だと中2ぐらいまでだろうか。

先週末に始めて、一気に30ページまで（ゲームで遊びたくてガンガン進める）。最初は知っていることばかりで簡単だが、だんだん内容が濃くなってきた。

代数分野だけだし比較的狭い範囲とはいっても、さすがに短期間で理解を深めるのは無理だろう(笑)

Spectrumシリーズはあくまで学校の勉強の補強のために使われるので、教科書を使った学校の授業が前提となる。

文字と数字の処理を表面的に丸暗記して解けるようになっても、数学的な力が付いているとはいえない。

あくまで数学的な感覚を身につけるのが目的なので、速度を落としてじっくりやらせよう。


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算数と数学の繋がり

中学受験算数は「算数」の手法で解ける範囲内でどんどん難易度を上げていった結果、必ずしも中学進学後の数学の学習に役立つわけではない。これは、色々なところで語られている話だ。

では、中学受験をしない場合、小学校の算数で気をつけておく分野はどこか。

もちろん、教科書レベルの問題は苦労なく解けるようになる、というのがまず最初の目標になる。

個別指導の塾＆家庭教師の経験からいうと、一番詰まりやすいのが、割合と分数と比のあたり。

特に、割合の理解において、実物を使った具体的な理解から、抽象的な理解へと高めておかないと、中学以降苦労することが多い。

また、パイを使った計算が出てくる円の面積の計算で、3.14を含んだかけ算・割り算を最低限にするための計算の工夫なども、中学以降の文字式を理解する上で助けになる。


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代数(Algebra)を親子で学ぶための教材について考えた

昨日、なおが「やってみたい」とやる気を出した代数、とりあえずはXとYを使った連立方程式あたりまでを目標にしてみよう。

あくまでお遊びとしてやるので、あまり時間もお金もかけるべきじゃない。

まずは図書館でこちらを借りてきた。この"Help Your Kids with"シリーズは日本の書店でも洋書コーナーに置いてあることが多い。

Help Your Kids with Math, Second Edition


鮮やかなカラー印刷で見ていて楽しい。子ども向けというよりは、実は親が見て昔学んだことを思い出して、子どもの宿題を助けるためにあるシリーズだと思う。

大胆なデザインで、「これって英語でなんと言うのだろう」的な疑問を解決するにはぴったりだが（英語で算数・数学をやるとよくある）、これだけ使って説明しても、練習にはならない。リファレンスとして家にあると便利そうなので、帰国したら買うつもりだ。

もうひとつはマンガというか、イラスト付きの解説本。この"The Cartoon Guide to"もシリーズになっていて、世界の歴史や科学などがある。

対象は中高校生だと思われるが、割と丁寧に代数の基本となるコンセプトを説明してくれている。

The Cartoon Guide to Algebra (Cartoon Guide Series)


こちらも、しかしなおが自分で読んでゆっくり理解していけるか、というと怪しい。そこまで知的好奇心が強いわけではないし、そもそも対象年齢は間違いなく中学生以上だ。

こちらも私が読んで、英語での表現を学びつつ、なおへの指導に活かしていく、という感じだろうか。


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違う教育システムで競うことの難しさ＆週間読書記録(1/30-2/5)

毎月の家庭学習の記録に書いているが、毎朝、予習シリーズの算数を1ページずつ解いている。

中学受験の算数は、代数、つまり文字式を使わないで解く、という縛りがあるために特殊な解き方をするものが多く、中学受験を経験していない場合、学力の高い高校生・大学生でも、そう簡単に解ける問題ばかりではない。

今朝は売買損益のチャプターの復習問題をやっていたとき、突然ｘとｙを使い始めて、詰まっていてびっくり。

中学受験の算数では、2次方程式を使えば簡単に解けるものもあるので、塾などでは教えることもあるようだが、我が家では教えたことはない。

話を聞いてみると、小学校の授業でギフテッドグループの子達が代数を始めているらしく、文字式を使う解法が「かっこいい！」らしい…。

ただ、見よう見まねでｘを使って解こうとするので、解けるはずがない(^^;

進んだ勉強をしているクラスメイトが羨ましくて、悔しいそうだ。しかたないので、私が教えてやる、なおは賢いから、すぐにマスターできるよ、と言ったら、目を輝かせて是非！とのことだった。

実際に始めてみたら「もういいや」となりそうだが、なおさえやる気なら、朝晩の勉強とは別に代数だけやってみよう。

＊＊＊

シリーズ3作目を読み終わった。現在は4巻目。なお曰くブログで紹介すべき、お勧め！なシリーズだそう。

The Protectors (Royal Institute of Magic, Book 3) (English Edition)



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勉強は他との比較でなく、過去の自分との比較で

予習シリーズ算数4年を始めたのが3年生の9月で、演習問題集も含めて終わらせたのが、15ヶ月後の4年生の11月。

その後、「グレードアップ問題集 小学４年 算数 文章題」に取り組んだときは、結構難しい問題があるな、と感じた（簡単な問題と難しい問題の落差が激しかった）。

改めて、持ってきたグレードアップ問題集小学4年算数の計算・図形編に取り組んでいないことに気がついた。

Ｚ会グレードアップ問題集　小学4年 算数 計算・図形 (Ｚ会小学生わくわくワーク)


算数の勉強は朝に難しいもの、夜に易しいものをやるというスケジュールなので、これは夜に回して、スタディサプリの算数の代わりにしてみた。

さらに、ぱっと見た感じ易しすぎる問題が多かったので、もしかしたら手こずるかも、と感じさせるページに限定してみた。

すると！

簡単すぎる。

あきらかに取り組むタイミングを逃して逃してしまったようだ。

グレードアップ問題集の場合、算数は計算・図形編と文章題編がある。単に分野が違うということだけでなく、難易度にはっきりと差があり、前者が基本、後者は応用となる。

そして、改めて感じるのが、この1年の家庭学習でしっかりと算数の力をつけてきているということ。

日本の小学校に通っておらず、「算数」の学習は自宅だけなので、特にそう感じるのかもしれない。

中学受験をする同学年の子ども達の間での相対的な位置を考えると決して凄くはないのだが、コツコツ勉強を積み重ねることで、しっかり上達してきている。

日本に帰って模試などを受けると成績に一喜一憂してしまうのだと思うが、一番大切なのは、しっかり前進すること。

各科目の学力が人生において持つ意味なども考えさせつつ、家庭学習を続けよう。

アメリカでも算数の授業は日本と同じで途中式が…

小学校の算数の授業では、標準と上級に分かれているうちの標準に入っていることもあり、宿題があってもほぼ授業中に終わらせてくるので、自宅で宿題をやるということがほとんどない。

たま～にIXL Mathの宿題がある、というときがあるが（頻度がよくわからないが、2週に1度ぐらい）、10分ぐらいで終わってしまう。

ところが昨日は、"Show your work."と言われて、学校で終わらせた課題がやり直しになった、とプリプリ怒っていた。

むちゃくちゃ分厚い教科書を学校から持ってかえってきたので見せてもらったら、分数の足し算、引き算のところ。

初めて見てびっくりしたが、こちらでは分数の計算も縦に筆算するようだ。

日本でも、小学校の算数の先生に途中式を書かないとやりなおし！と注意された、という話を聞いたが、アメリカでも同じらしい。

やり直しになったのは、分数の計算10題ぐらいでたいしたことはなかったが、なおの憤りようはなかなかで、なぜ途中式が重要か説明する必要があった。

基本、途中式というのは自分のために書くのではなく、解答を読む人のために書くもの。これが理解できるのはまだまだ先だろう。

ちなみに、日本と違ってアメリカでは教科書は学校に置きっ放し。無料だが、もらえるわけではなく、同じ教科書を何年か使うらしい。

算数の教科書の実物を初めてみたが、むちゃくちゃ分厚く、アメリカでの大学の教科書を思い出したほど。

サイズと重量的に日本の教科書の10倍ぐらいだ(笑)

予習シリーズ算数5年を開始

今年に入ってから、予習シリーズの算数5年メインテキストを始めた。

本来はメインテキストに加え、演習問題集と計算問題集を同時にやらないといけないのだが、我が家はとりあえずメインテキストのみ！という荒っぽい進め方だ(笑)

メインテキストの構成は、各単元まず例題と解説、類題があり、基本問題2ページ、練習問題2ページ、復習問題1ページとなっている。

まず1日目は類題をやる。これは、なおが上の例題の解き方を見て、自分で勝手に試してみる。私が丁寧に説明しないとわからないことも多い。

2日目以降は、1日1ページ。

基本問題は、得意分野の場合は飛ばし、苦手分野の場合はやらせる。練習問題には取り組むが、チャレンジ問題は飛ばして目もくれない。

復習問題は難易度的には基本問題に近いが、これは学習の定着のためにやらせる。

5回ごとに総合の回がある。これは基本問題4ページ、練習問題2ページ。この基本問題は飛ばさない。

このペースで進めると、上巻は3ヶ月ぐらいで終えることになる。

ちょうど日本に帰るタイミングになるので、メインテキストの上巻が終わったら、演習問題集を購入して取り組む。3ヶ月で演習問題集（上）を終える。これで1年間で予習シリーズの上下が終わることになり、スケジュール的にばっちり。

ただ、計算問題集をやる時間がはいっていない(^^;4月からは夜の勉強時間にやっている算数の時間を計算にあてる予定だ。